Função Do 1º Grau Ou Função Afim – 20 Exercícios Com Gabarito: embarque nesta jornada fascinante pelo universo das funções de primeiro grau! Prepare-se para desvendar os mistérios por trás dessas equações que modelam o mundo ao nosso redor, desde o cálculo de custos até a previsão de crescimento. Neste guia completo, vamos explorar os conceitos fundamentais, dominar as técnicas de resolução e, o melhor de tudo, praticar com 20 exercícios cuidadosamente selecionados, todos com gabarito para você conferir seu progresso e celebrar cada conquista.
Aprender matemática nunca foi tão estimulante!
Dominar as funções de primeiro grau é como aprender a decifrar uma linguagem secreta do universo. Através delas, compreendemos relações entre grandezas, prevêmos tendências e solucionamos problemas complexos de forma elegante e eficiente. Este material irá guiá-lo passo a passo, desde a compreensão dos coeficientes angular e linear até a aplicação em situações reais, mostrando a beleza e a utilidade prática desta ferramenta matemática fundamental.
Prepare-se para transformar desafios em oportunidades de aprendizado e crescimento!
Conceitos Fundamentais da Função do 1º Grau: Função Do 1º Grau Ou Função Afim – 20 Exercícios Com Gabarito
Embarque conosco numa jornada fascinante pelo mundo das funções do 1º grau, também conhecidas como funções afins. Estas funções, aparentemente simples em sua estrutura, revelam uma elegância matemática capaz de modelar inúmeros fenômenos do nosso cotidiano, desde o crescimento de uma população até o cálculo de custos de produção. Prepare-se para desvendar seus segredos e dominar suas aplicações.A forma geral da equação de uma função do 1º grau é representada por f(x) = ax + b, onde ‘x’ representa a variável independente, ‘a’ é o coeficiente angular, e ‘b’ é o coeficiente linear.
O coeficiente angular, ‘a’, determina a inclinação da reta que representa a função no plano cartesiano. Um valor positivo de ‘a’ indica uma reta crescente, enquanto um valor negativo indica uma reta decrescente. Já o coeficiente linear, ‘b’, indica o ponto onde a reta intersecta o eixo y, ou seja, o valor de f(x) quando x=0. Ele representa a ordenada na origem.
Funções Crescentes e Decrescentes do 1º Grau
Funções crescentes do 1º grau são aquelas em que o valor de f(x) aumenta à medida que x aumenta. Graficamente, isso se traduz em uma reta que “sobe” da esquerda para a direita. Seu coeficiente angular (a) é sempre positivo. Por exemplo, a função f(x) = 2x + 1 é crescente, pois para cada aumento unitário em x, f(x) aumenta em duas unidades.
Imagine uma rampa suave subindo: a inclinação dessa rampa representa o coeficiente angular positivo. Em contraponto, funções decrescentes do 1º grau apresentam um comportamento inverso: f(x) diminui à medida que x aumenta. Graficamente, a reta “desce” da esquerda para a direita, e seu coeficiente angular (a) é sempre negativo. A função f(x) = -x + 3 é um exemplo de função decrescente.
Visualize agora uma rampa que desce: a inclinação negativa ilustra o coeficiente angular negativo.
Determinação do Coeficiente Angular e Linear a Partir de Dois Pontos
Para determinar o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b) de uma função do 1º grau, conhecendo apenas dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) que pertencem à reta, podemos utilizar as seguintes fórmulas:
a = (y2 – y1) / (x2 – x1)
b = y1 – a
- x1 (ou b = y2 – a
- x2)
A fórmula para ‘a’ representa a variação de y dividida pela variação de x, que geometricamente corresponde à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x. Após calcular ‘a’, substituímos um dos pontos na equação da reta para encontrar ‘b’. Este processo permite a reconstrução completa da função a partir de apenas dois pontos, revelando a potência da matemática na sua capacidade de síntese.
Exemplos de Funções do 1º Grau
A tabela abaixo ilustra alguns exemplos de funções do 1º grau, seus coeficientes angular e linear, e uma breve descrição de sua representação gráfica.
| Função | Coeficiente Angular (a) | Coeficiente Linear (b) | Gráfico |
|---|---|---|---|
| f(x) = 3x + 2 | 3 | 2 | Reta crescente, interceptando o eixo y em 2, com inclinação acentuada. |
| f(x) = -2x + 5 | -2 | 5 | Reta decrescente, interceptando o eixo y em 5, com inclinação moderada. |
| f(x) = x – 1 | 1 | -1 | Reta crescente, interceptando o eixo y em -1, com inclinação suave. |
| f(x) = 4 | 0 | 4 | Reta horizontal, paralela ao eixo x, interceptando o eixo y em
4. (Caso particular função constante) |
Resolução de Problemas com Funções do 1º Grau
A função do 1º grau, também conhecida como função afim, é uma ferramenta poderosa para modelar situações reais e resolver problemas diversos. Sua simplicidade esconde uma elegância matemática que nos permite traduzir relações entre grandezas em equações e, a partir delas, extrair informações cruciais. Dominar a resolução de problemas utilizando funções do 1º grau abre portas para uma compreensão mais profunda do mundo que nos cerca.
Determinação do Zero de uma Função do 1º Grau
Para encontrar o zero de uma função do 1º grau, isto é, o valor de x para o qual f(x) = 0, seguimos um método simples e eficaz. A função do 1º grau possui a forma geral
f(x) = ax + b
, onde ‘a’ e ‘b’ são constantes. Para determinar o zero, basta igualar a função a zero e isolar a variável x.Exemplo 1: Encontre o zero da função f(x) = 2x +
6. Igualando a zero
2x + 6 =
0. Subtraindo 6 de ambos os lados
2x = –
6. Dividindo por 2
x = -3. Portanto, o zero da função é -3.Exemplo 2: Determine o zero da função g(x) = -3x +
9. Igualando a zero
-3x + 9 =
0. Subtraindo 9 de ambos os lados
-3x = –
9. Dividindo por -3
x = 3. O zero da função é 3.
Problema Contextualizado com Função do 1º Grau, Função Do 1º Grau Ou Função Afim – 20 Exercícios Com Gabarito
Uma empresa de telefonia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00 mensais, mais R$ 0,50 por minuto de ligação. Podemos modelar o custo mensal (C) em função dos minutos de ligação (m) através da função C(m) = 0,5m + 30. Qual o número de minutos de ligação que resulta em um custo mensal de R$ 55,00?Resolução: Substituímos C(m) por 55 na equação: 55 = 0,5m +
30. Subtraindo 30 de ambos os lados
25 = 0,5m. Dividindo por 0,5: m = 50. A interpretação do resultado é que, para um custo mensal de R$ 55,00, foram utilizados 50 minutos de ligação.
Exercícios Resolvidos com Funções do 1º Grau
A prática é fundamental para o domínio das funções do 1º grau. Os exemplos a seguir ilustram diferentes tipos de problemas e suas respectivas resoluções.Exemplo 1: Determine a imagem de x = 2 na função f(x) = 3x –
1. Substituindo x por 2
f(2) = 3(2)1 = 5. A imagem é 5.Exemplo 2: Encontre o valor de x para que f(x) = 10 na função f(x) = 2x +
4. Igualando
10 = 2x +
4. Subtraindo 4
6 = 2x. Dividindo por 2: x = 3.Exemplo 3: Determine o zero da função h(x) = -x +
7. Igualando a zero
-x + 7 =
0. Isolando x
x = 7.Exemplo 4: Qual o coeficiente angular da reta representada pela função y = 4x – 2? O coeficiente angular é 4.Exemplo 5: Determine a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, 6). Primeiro, calculamos o coeficiente angular: m = (6-2)/(3-1) =
2. Utilizando a forma ponto-reta
y – 2 = 2(x – 1). Simplificando: y = 2x.
Determinação da Equação de uma Reta a Partir de Dois Pontos
Para determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), primeiramente calculamos o coeficiente angular (m) da reta utilizando a fórmula:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
. Em seguida, utilizamos a forma ponto-reta da equação da reta:
y – y1 = m(x – x1)
, substituindo o valor de ‘m’ e as coordenadas de um dos pontos. Simplificando a equação, obtemos a equação da reta na forma y = mx + c.
Aplicações e Interpretação de Gráficos
A beleza da função do 1º grau reside não apenas em sua simplicidade matemática, mas também em sua capacidade de modelar e interpretar fenômenos do mundo real. Ao compreendermos a relação entre os coeficientes da equação e o gráfico correspondente, abrimos portas para uma compreensão mais profunda de diversas situações, desde o crescimento de uma planta até o cálculo de custos em uma empresa.
Nesta seção, exploraremos essa fascinante conexão, desvendando os segredos por trás dos gráficos e suas aplicações práticas.A relação entre o coeficiente angular e a inclinação da reta é fundamental para a interpretação geométrica da função.
Coeficiente Angular e Inclinação da Reta
O coeficiente angular (a) de uma função do 1º grau, representada por f(x) = ax + b, determina a inclinação da reta no gráfico cartesiano. Um coeficiente angular positivo indica uma reta crescente, subindo da esquerda para a direita. Quanto maior o valor absoluto de ‘a’, mais inclinada será a reta. Já um coeficiente angular negativo indica uma reta decrescente, descendo da esquerda para a direita.
Um coeficiente angular igual a zero representa uma reta horizontal, sem inclinação. Essa relação direta entre o coeficiente e a inclinação nos permite visualizar imediatamente o comportamento da função a partir de sua equação. Por exemplo, em f(x) = 3x + 2, a reta terá uma inclinação acentuada, subindo rapidamente, enquanto em f(x) = -1/2x + 1, a reta terá uma inclinação suave, descendo lentamente.
Coeficiente Linear e Interseção com o Eixo y
O coeficiente linear (b) na função f(x) = ax + b indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y. Em outras palavras, quando x = 0, f(x) = b. Este ponto (0, b) é um ponto crucial para o esboço do gráfico, servindo como um ponto de referência para a construção da reta. Ele representa o valor inicial ou a constante da função, independente da variável x.
Se b for positivo, a reta interceptará o eixo y acima da origem; se b for negativo, abaixo da origem; e se b for zero, a reta passará pela origem (0,0).
Exemplos de Aplicações de Funções do 1º Grau
Funções do 1º grau são ferramentas poderosas para modelar diversos fenômenos reais. A seguir, apresentamos três exemplos concretos de sua aplicação:
- Cálculo de Custo: Imagine uma empresa que produz camisetas. O custo total de produção (C) pode ser modelado por uma função do 1º grau, onde o coeficiente angular representa o custo unitário de produção de cada camiseta e o coeficiente linear representa os custos fixos (aluguel, máquinas, etc.). Por exemplo, se o custo unitário é R$10 e os custos fixos são R$500, a função seria C(x) = 10x + 500, onde x é o número de camisetas produzidas.
- Taxa de Crescimento Linear: O crescimento de uma planta pode ser aproximado por uma função do 1º grau, em um determinado período. Suponha que uma planta cresça 2 cm por semana. A função h(t) = 2t + h₀ descreve a altura (h) da planta após t semanas, onde h₀ é a altura inicial da planta. Neste caso, o coeficiente angular representa a taxa de crescimento constante.
- Conversão de Temperaturas: A conversão entre graus Celsius (°C) e graus Fahrenheit (°F) é feita por meio de uma função do 1º grau: °F = (9/5)°C + 32. Aqui, o coeficiente angular (9/5) representa a relação entre as escalas, e o coeficiente linear (32) representa a diferença de ponto zero entre as escalas.
Construção do Gráfico de f(x) = 2x + 1
Para construir o gráfico da função f(x) = 2x + 1, podemos começar encontrando os pontos de interseção com os eixos coordenados.Quando x = 0, f(x) = 2(0) + 1 = 1. Logo, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 1).Para encontrar a interseção com o eixo x, precisamos resolver a equação f(x) = 0:
0 = 2x + 1
-1 = 2x
x = -1/2
Portanto, a reta intercepta o eixo x no ponto (-1/2, 0).Com esses dois pontos, (0, 1) e (-1/2, 0), podemos traçar a reta no plano cartesiano. A reta terá uma inclinação positiva (coeficiente angular 2), subindo da esquerda para a direita, e passará pelos pontos calculados. A visualização gráfica confirma a relação entre os coeficientes da equação e o comportamento da reta.
A inclinação acentuada reflete o coeficiente angular 2, e a interseção com o eixo y no ponto (0,1) reflete o coeficiente linear 1.